Parabola concava y convexa

Economía de los gráficos cóncavos y convexos

Explicación: Esta pregunta nos pide que examinemos la concavidad de la función . Necesitaremos encontrar la segunda derivada para determinar dónde la función es cóncava hacia arriba y hacia abajo. Siempre que su segunda derivada es positiva, una función es cóncava hacia arriba.

Empecemos por encontrar la primera derivada de f(x). Tendremos que utilizar la regla del producto. Según la regla del producto, si , entonces . En este problema concreto, dejemos que y . Aplicando la regla del producto, obtenemos

Para evaluar la derivada de , necesitaremos invocar la Regla de la Cadena. Según la regla de la cadena, la derivada de una función en la forma viene dada por . Para hallar la derivada de , dejaremos que y .

Para resolver esta desigualdad, podemos dividir ambos lados por . Observa que siempre es positivo (porque e elevado a cualquier potencia será positivo); esto significa que cuando dividamos ambos lados de la desigualdad por , no tendremos que invertir el signo. (Si dividimos una desigualdad por una cantidad negativa, el signo se invierte).

Significado del gráfico convexo

Para nosotros, el fin de año se asemeja a la curva de una parábola. Las cosas se ralentizarán gradualmente para un merecido descanso, hasta la medianoche del 31 de diciembre, cuando todo el mundo contenga la respiración para dar la bienvenida a 2017. En el nuevo año, todo volverá a coger velocidad con un entusiasmo renovado.

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Nos complace comunicarle que el conjunto de accesorios GraphGrid para el TactiPad se ha ampliado con tres herramientas adicionales. Estas permiten dibujar parábolas e hipérbolas perfectas y lentes cóncavas o convexas.

Parábola cóncava vs convexa

Entre las subclases importantes de curvas convexas se encuentran las curvas convexas cerradas (los límites de los conjuntos convexos), las curvas suaves que son convexas y las curvas estrictamente convexas, que tienen la propiedad adicional de que cada línea de apoyo pasa por un único punto de la curva. También se han considerado combinaciones de estas propiedades.

Entre las curvas planas, las curvas convexas pueden definirse de muchas formas equivalentes. Werner Fenchel atribuye a Arquímedes, en su obra Sobre la esfera y el cilindro, la definición de que son las curvas planas todas cuyas cuerdas tocan el mismo lado de la curva[1] Las curvas convexas también se han definido por sus líneas de apoyo, por los conjuntos de los que forman límites y por sus intersecciones con líneas. Para distinguir las curvas convexas cerradas de las que no lo son, las curvas convexas cerradas se han llamado a veces también bucles convexos y las curvas convexas no necesariamente cerradas se han llamado también arcos convexos[2].

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Una curva plana es la imagen de cualquier función continua de un intervalo al plano euclidiano. Intuitivamente, es un conjunto de puntos que podrían ser trazados por un punto en movimiento. A menudo, se requiere que la función utilizada para describir este movimiento no sólo sea continua, sino también regular, es decir, que el punto en movimiento nunca se detenga o invierta su dirección[3].

Segunda derivada cóncava vs convexa

En matemáticas, una parábola es una curva plana con simetría de espejo y aproximadamente en forma de U. Se ajusta a varias descripciones matemáticas superficialmente diferentes, pero se puede demostrar que todas ellas definen exactamente las mismas curvas.

Una de las descripciones de una parábola implica un punto (el foco) y una línea (la directriz). El foco no se encuentra en la directriz. La parábola es el lugar de los puntos en ese plano que son equidistantes tanto de la directriz como del foco. Otra descripción de una parábola es como una sección cónica, creada a partir de la intersección de una superficie cónica circular recta y un plano paralelo a otro plano que es tangente a la superficie cónica[a].

La línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco (es decir, la línea que divide la parábola por el medio) se llama “eje de simetría”. El punto en el que la parábola se cruza con su eje de simetría se llama “vértice” y es el punto en el que la parábola se curva de forma más pronunciada. La distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de simetría, es la “distancia focal”. El “latus rectum” es la cuerda de la parábola que es paralela a la directriz y pasa por el foco. Las parábolas pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha o en cualquier otra dirección arbitraria. Cualquier parábola puede ser reposicionada y reescalada para encajar exactamente en cualquier otra parábola, es decir, todas las parábolas son geométricamente similares.

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