Valores z para niveles de confianza

Intervalo de confianza de la distribución normal

Hemos visto que la media de la muestra \(\bar{X}\) tiene media \(\mu\) y varianza \(\dfrac{\sigma^2}{n}\), y que la distribución de \(\bar{X}\) es aproximadamente Normal cuando el tamaño de la muestra \(n\) es grande. Esto plantea la pregunta: ¿Cómo de grande es “un tamaño de muestra grande”? Las directrices adecuadas deben tener en cuenta la naturaleza de la población de la que se toma la muestra, en la medida en que sea posible; esto se explicará más adelante en esta sección.

Es realmente importante reflexionar sobre este enunciado de probabilidad. Nótese que tiene \(\mu\) en el centro de las desigualdades. El parámetro poblacional \(\mu\) no varía: es fijo, pero desconocido. El elemento aleatorio en esta declaración de probabilidad es el intervalo aleatorio alrededor de \(\mu\).

Esto constituye la base del intervalo de confianza aproximado del 95% para la verdadera media \(\mu\). En un caso dado, sólo tenemos una única media muestral \(\bar{x}\). Un intervalo de confianza aproximado del 95% para \(\mu\) viene dado por

La desviación típica de la muestra es una estimación de la desviación típica de la población. Al igual que \(\bar{X}\) es una variable aleatoria que estima \(\mu\) y tiene un valor observado \(\bar{x}\) para una muestra específica, \(S\) es una variable aleatoria que estima \(\sigma\) y tiene un valor observado \(s\) para una muestra específica. La desviación típica de la muestra (que se trata en el plan de estudios nacional del 10º curso) se define como sigue. Para una muestra aleatoria \(X_1, X_2, \dots, X_n\) de una población con desviación estándar \(\sigma\), la desviación estándar de la muestra se define como

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Intervalo de confianza unilateral Puntuación z

Como se ha señalado en módulos anteriores, un objetivo clave de la bioestadística aplicada es hacer inferencias sobre parámetros poblacionales desconocidos a partir de las estadísticas de la muestra. Existen dos grandes áreas de inferencia estadística, la estimación y la prueba de hipótesis. La estimación es el proceso de determinar un valor probable para un parámetro de la población (por ejemplo, la verdadera media de la población o la proporción de la población) basado en una muestra aleatoria. En la práctica, seleccionamos una muestra de la población objetivo y utilizamos las estadísticas de la muestra (por ejemplo, la media de la muestra o la proporción de la muestra) como estimaciones del parámetro desconocido. La muestra debe ser representativa de la población, con participantes seleccionados al azar de la población. Al generar las estimaciones, también es importante cuantificar la precisión de las estimaciones de las diferentes muestras.

Existen dos tipos de estimaciones para cada parámetro de la población: la estimación puntual y la estimación del intervalo de confianza (IC). Tanto para las variables continuas (por ejemplo, la media de la población) como para las variables dicotómicas (por ejemplo, la proporción de la población) se calcula primero la estimación puntual de una muestra. Recordemos que las medias y las proporciones muestrales son estimaciones insesgadas de los parámetros poblacionales correspondientes.

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Mesa Z

El procedimiento de comprobación de hipótesis se basa en las ideas descritas anteriormente. En concreto, establecemos hipótesis contrapuestas, seleccionamos una muestra aleatoria de la población de interés y calculamos los estadísticos de resumen. A continuación, determinamos si los datos de la muestra apoyan la hipótesis nula o la alternativa. El procedimiento puede desglosarse en los cinco pasos siguientes.

La hipótesis de investigación o alternativa puede adoptar una de estas tres formas. Un investigador puede creer que el parámetro ha aumentado, disminuido o cambiado. Por ejemplo, un investigador puede formular una hipótesis:

La forma exacta de la hipótesis de investigación depende de la creencia del investigador sobre el parámetro de interés y de si posiblemente ha aumentado, disminuido o es diferente del valor nulo. La hipótesis de investigación la establece el investigador antes de recoger los datos.

Cuando el tamaño de la muestra es pequeño, utilizaremos la estadística t (igual que hicimos al construir los intervalos de confianza para muestras pequeñas). A medida que presentamos cada hipótesis, se proporcionan estadísticos de prueba alternativos junto con las condiciones para su uso apropiado.

Tabla de intervalos de confianza

La definición dice que “un intervalo de confianza es el rango de valores, derivado de las estadísticas de la muestra, que probablemente contenga el valor de un parámetro poblacional desconocido”. Pero, ¿qué significa eso en la realidad?

Imaginemos que un fabricante de ladrillos está preocupado por saber si la masa de los ladrillos que fabrica se ajusta a las especificaciones. Ha medido que la masa media de una muestra de 100 ladrillos es igual a 3 kg. También ha encontrado que el intervalo de confianza del 95% está entre 2,85 kg y 3,15 kg. Esto significa que puede estar seguro al 95% de que la masa media de todos los ladrillos que fabrica estará entre 2,85 kg y 3,15 kg.

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Por supuesto, no siempre se quiere estar exactamente seguro al 95%. Tal vez quiera estar seguro en un 99%, o tal vez le baste con que el intervalo de confianza sea correcto en el 90% de los casos. Este porcentaje se llama nivel de confianza.

El cálculo del intervalo de confianza requiere conocer tres parámetros de la muestra: el valor medio (promedio), μ, la desviación estándar, σ, y el tamaño de la muestra, n (número de mediciones realizadas). A continuación, puede calcular el error estándar y, a continuación, el margen de error de acuerdo con las siguientes fórmulas:

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